الأعداد المركبة
الكفاءات المستهدفة
1- إجراء العمليات الحسابية على الأعداد المركبة .
2- استعمال خواص مرافق عدد مركب.
3- حساب الطويلة و عمدة لعدد مركب .
4- الانتقال من الشكل الجبري إلى المثلثي و العكس.
5- التعبير عن خواص الأشكال الهندسية باستعمال الأعداد المركبة
6- توظيف خواص الطويلة و عمدة لحل المسائل في الأعداد
المركبة في الهندسة.
7- توظيف دستور موافر لحل مسائل في الأعداد المركبة
في الهندسة.
8- حل معادلة من الدرجة الثانية.
9- حل معادلات يؤول حلها إلى معادلة من الدرجة الثانية.
10- تعيين الكتابة المركبة للتحويلات المألوفة.
11- التعرف على تحويل انطلاقا من كتابته المركبة .
12- توظيف الأعداد المركبة في التحويلات.
النشاط :
نعتبر مجموعة E عناصرها من الشكل حيث x و y عددان حقيقيان و i عدد حيث ليكن العددان حيث :
و
1- إذا علمت أن عمليتي الجمع و الضرب في E لها نفس خواص
عمليتي الجمع والضرب في ، احسب كل من :
2) بكتابة على الشكل :
عين عددان حقيقيان بحيث :
وبنفس الطريقة عين عددان حقيقيان a و b بحيث: .
3) احسب ثم بدلالة n .
4) استنتج طريقة لحساب .
الحل :
1) الحساب :
2)
و منه :
إذن :
و منه : إذن : .
3) - حساب :
- حساب :
4) استنتاج طريقة لحساب
1 – تعريف مجموعة الأعداد المركبة :
المستوي مزود بمعلم متعامد متجانس
- كل نقطة M من المستوي تمثل عدد مركب وعدد مركب وحيد.
وكل عدد مركب يمثل بنقطة و بنقطة وحيدة في المستوي.
- النقطة J(o ; 1) تمثل العدد المركب الذي نرمز له بالرمز i .
- من أجل كل عددان حقيقيان x و y ، يرمز للعدد المركب الممثل
بالنقطة بالرمز .
- يرمز لمجموعة الأعداد المركبة بالرمز .
2- الشكل الجبري لعدد مركب :
من أجل كل عددان حقيقيان x و y : الشكل يسمى الشكل الجبري لعدد مركب Z .
3- تعار يف و مصطلحات :
ليكن عدد مركب ، x و y عددان حقيقيان
- العدد الحقيقي x يسمى الجزء أو القسم الحقيقي للعدد
المركب Z و نرمز له بالرمز أي :
- العدد الحقيقي y يسمى الجزء أو القسم التخيلي للعدد المركب Z
ويرمز له بالرمز أي : .
- النقطة تسمى صورة العدد المركب Z
و العدد يسمى لاحقة النقطة
- من أجل كل عدد حقيقي فإن العدد يساوي
العدد إذا وفقط إذا كان : و .
- كل عدد حقيقي هو عدد مركب و لدينا :
يكافئ: .
- يكون العدد المركب Z تخيلي صرف إذا وفقط إذا كان:
- محور الفواصل يدعى المحور الحقيقي و محور التراتيب يدعى
المحور التخيلي .
- إذا كان Z = 0 فإن Z حقيقي و تخيلي صرف في آن واحد و يمثل
بالنقطة .
4- الحساب في :
- المجموع و الجداء في :
المجموعة مزودة بعمليتين هما الجمع + و الضرب × معرفتان من أجل كل عددان مركبان حيث:
و كما يلي :
هاتين العمليتين لهما نفس خواص الجمع + و الضرب × في
- قوى عدد مركب :
القوى الصحيحة لعدد مركب لها نفس خواص القوى الصحيحة لعدد حقيقي ولدينا :
وعليه :
أمثلة :
نعتبر العددان المركبان: .
1) احسب كل من .
2) احسب .
الحل :
1)
ومنه :
1
و منه :
2)
و منه : أي:
خواص :
إذا كان Z و لاحقتي النقطتين M و (أو الشعاعين على الترتيب فإن :
2 هو لاحقة النقطة S
(أو الشعاع ) حيث:
3 هو لاحقة النقطة D (أو الشعاع ) حيث:
وعليه إذا كانت A و B نقطتان لاحقتاهما و علي الترتيب فإن لاحقة الشعاع هو العدد المركب
حيث :
ولاحقة النقطة I منتصف هو حيث
- مقلوب عدد مركب :
Z عدد مركب غير معدوم . حيث .
لدينا :
و منه :
وهو الشكل الجبري لمقلوب العدد المركب Z غير المعدوم.
أي x وy غير معدومين معا.
- حاصل قسمة عددين مركبين :
و عددان مركبان حيث:
مع و
وهو الشكل الجبري للعدد المركب أي حاصل قسمة العدد المركب Z على العدد المركب غير المعدوم .
5- مرافق عدد مركب :
تعريف :
لكل نقطة M من المستوى ذات اللاحقة حيث x و y عددان حقيقيان نظيرة بالنسبة لمحور الفواصل هي النقطة ذات اللاحقة . العدد المركب يسمى مرافق العدد المركب ونرمز له بالرمز أي :
أمثلة :
مرافق العدد المركب: هو العدد المركب:
مرافق العدد المركب: هو العدد المركب:
مرافق العدد المركب: هو العدد المركب:
مرافق العدد المركب: هو العدد المركب:
أي أن :
خواص :
(a و y عددان حقيقيان . عدد مركب .
مرافق العدد المركب Z .
1) لدينا : ومنه :
وعليه :
2) لدينا : ومنه :
3) ومنه :
4)
5) تكافئ
6) Z تخيلي صرف يكافئ :
(b أعداد حقيقية . , Z1 Z2 عدادان مركبان حيث :
؛
1)
ومنه :
2)
وعليه :
3)
وعليه :
4)
5) من أجل :
وإذا كان: و :
أمثلة :
حيث: a وb عددان مركبان مع .
تطبيق :
M نقطة من المستوى لاحقتها ، نقطة من المستوى لاحقتها
1) اكتب على الشكل الجبري.
2) عين مجموعة النقط M بحيث يكون حقيقي .
3) عين مجموعة النقط M بحيث يكون تخيلي صرف .
الحل :
1) كتابة على الشكل الجبري :
2) تعيين مجموعة النقط M بحيث يكون حقيقي :
حقيقي يكافئ :
ويكافئ : .
ومنه مجموعة النقط M هي محور الفواصل باستثناء النقطة
A (1 ; 0) .
3) تعيين مجموعة النقط M بحيث يكون تخيلي صرف :
تخيلي صرف يكافئ :
ويكافئ : ومنه مجموعة النقط M هي دائرة مركزها O ونصف قطرها 1 باستثناء النقطة A (1 ; 0) .
6- طويلة و عمدة عدد مركب :
المستوى منسوب في ما يلي إلى معلم متعامد و متجانس و مباشر . M نقطة من المستوي إحداثياها القطبيان حيث عدد حقيقي موجب و عدد حقيقي و عليه Z لاحقة النقطة M يكتب على الشكل :
• يسمى الشكل المثلثي للعدد Z
• نصف القطر القطبي OM يحقق ويسمى طويلة Z ونرمز له بالرمز .
• الزاوية القطبية تحقق حيث و تسمى عمدة العدد المركب Z . و نرمز لها بالرمز
arg (Z) ونكتب : و تقرأ بترديد
البرهان :
لتكن M نقطة من المستوى إحداثياها
القطبيان فيكون إحداثياها
(x ; y) معرفان كما يلي :
وعليه إذا كان Z لاحقة M فإن :
ومنه :
ملاحظات :
لدينا : وعليه :
وعليه :
وإذا كان Z = 0 فإن : لكن Z ليس له عمدة.
أمثلة :
